Bonsoir. Serait-il possible de recevoir l'aide d'un membre féru de mathématiques ? Voici mon exercice assez long, mais que je voudrais comprendre et pouvoir réu

Bonjour Ikraaaaam

Partie A.
1. Développer les expressions suivantes :
A(x) = (12-x)(16-x)
B(x) = (x-14)²-100

[tex]A(x)=(12-x)(16-x)\\A(x)=12\times16-12\times x-x\times16+x\times x\\A(x)=192-12x-16x+x^2\\\boxed{A(x)=x^2-28x+192}\\\\B(x)=(x-14)^2-100\\B(x)=(x^2-2\times x\times14+14^2)-100\\B(x)=x^2-28x+196-100\\\boxed{B(x)=x^2-28x+96}[/tex]

2. Factoriser B(x).

[tex]B(x)=(x-14)^2-100\\B(x)=(x-14)^2-10^2\\B(x)=[(x-14)+10][(x-14)-10]\\B(x)=(x-14+10)(x-14-10)\\\boxed{B(x)=(x-4)(x-24)}[/tex]

3. Résoudre dans R l'équation B(x) = 0.

[tex]B(x)=0\\(x-4)(x-24)=0\\x-4=0\ \ ou\ \ x-24=0\\\boxed{x=4\ \ ou\ \ x=24}[/tex]

Partie B.
Avec les données de la figure ci-dessous on définit une fonction S qui à tout réel x de l'intervalle [0;12] associe l'aire du rectangle AEFG.

1. Justifier que pour tout réel x de l'intervalle [0;12] : S(x) = x²-28x+192.

[tex]S(x) = Aire\ du\ rectangle\ AEFG\\S(x) = AE\times AG\\S(x) = (AB-EB)\times (AD-GD)\\S(x) = (12-x)\times (16-x)\\\boxed{S(x)=x^2-28x+192}\ \ \ (voir\ partie\ A,\ question\ 1)[/tex]

2a. Calculer l'image de 6 par la fonction S.

[tex]S(x) = (12-x)(16-x)\\\\S(6)=(12-6)(16-6)\\S(6)=6\times10\\\boxed{S(6)=60}[/tex]

2b. Calculer [tex]S(\dfrac{29}{3})[/tex] et [tex]S(8+\sqrt{5}) [/tex]

[tex]S(x) = (12-x)(16-x)\\\\S(\dfrac{29}{3})=(12-\dfrac{29}{3})(16-\dfrac{29}{3})\\\\S(\dfrac{29}{3})=(\dfrac{36}{3}-\dfrac{29}{3})(\dfrac{48}{3}-\dfrac{29}{3})\\\\S(\dfrac{29}{3})=\dfrac{7}{3}\times\dfrac{19}{3}\\\\\boxed{S(\dfrac{29}{3})=\dfrac{133}{9}}[/tex]

[tex]S(x)=x^2-28x+192\\\\S(8+\sqrt{5})=(8+\sqrt{5})^2-28(8+\sqrt{5})+192\\\\S(8+\sqrt{5})=64+16\sqrt{5}+5-224-28\sqrt{5}+192\\\\S(8+\sqrt{5})=64+16\sqrt{5}+5-224-28\sqrt{5}+192\\\\\boxed{S(8+\sqrt{5})=37-12\sqrt{5}}[/tex]

3. En utilisant la partie A, déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'aire du rectangle AEFG est égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.

Aire du rectangle AEFG = x² - 28x + 192.
Aire du rectangle ABCD = 12 x 16 = 192 ==> la moitié de l'aire du rectangle ABCD = 1/2 x 192 = 96.

Il faut donc résoudre l'équation : [tex]x^2- 28x + 192 = 96[/tex]

[tex]x^2- 28x + 192 - 96=0\\x^2- 28x + 192 - 96=0\\x^2- 28x +96=0\\B(x)=0\\x = 4\ ou\ x=24\ \ (voir\ partie\ A,\ question\ 3)[/tex]

La valeur x = 24 est à rejeter car x ne peut pas être supérieur à 12 (puisque AB = 12)

Donc la seule valeur de x telle que l'aire du rectangle AEFG est égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD est x = 4.