Bonsoir, j'aimerai de l'aide pour ce devoir, Merci d'avance ! Exercice 2: On définit la fonction f sur IR par: x ---->  [tex] \sqrt{2}x-2 [/tex] 1) Calculer l'

Bonsoir,

En premier lieu, il faut bien comprendre la notation du début. Quand on écrit
[tex]f:x\mapsto \sqrt 2x -2[/tex]
Cela signifie que f est la fonction qui au réel x associe le réel √2x-2. Soit x un réel, le réel associé par f à x est appelé image de x par f et est noté f(x). Ici, on a f(x) = √2x-2.

1)L'image de -√2 par f est f(-√2). On remplace :
[tex]f(-\sqrt 2) = \sqrt 2 \times \left(-\sqrt 2\right) -2\\ f(-\sqrt 2) = -4[/tex]

2)Les antécédents de 0 sont les nombres auxquels f associe la valeur 0. Autrement dit, les solutions de l'équation f(x) = 0.
Ce qui nous donne :
[tex]\sqrt 2x- 2 = 0[/tex]
Je te laisse résoudre cette équation et conclure. De même pour les antécédents de √2.

3)Cf est l'ensemble des points (x,f(x)) quand x décrit l'ensemble des réels. Autrement dit, pour chaque abscisse x, tu dois placer le point d'ordonnée f(x). En pratique, c'est beaucoup trop long ! Mais ici, tu remarques que ta fonction est affine. Sa représentation graphique est donc une droite. Tu peux remarquer que l'on a f(0) = -2 donc le point A (0 ; -2) appartient à Cf. Comme de plus on a f(-√2) = -4, le point B(-√2 ; 4) appartient aussi à Cf. Tu n'as plus qu'à
tracer la droite (AB).

4)Graphiquement, les solutions de l'équation sont les abscisses des points de Cf situées au-dessus de la droite (d) d'équation y = x-1. Il faut donc tracer cette droite et conclure.
Algébriquement, cela donne :
[tex]\sqrt 2 x -2 \ \textgreater \ x-1\\ \sqrt 2 x -x \ \textgreater \ 1\\ x\left(\sqrt 2 -1\right) \ \textgreater \ 1\\ x \ \textless \ \frac{1}{\sqrt 2 -1}[/tex]
On n'oublie pas de changer le sens de l'inégalité car √2-1 < 0.
On peut simplifier cette écriture en multipliant par √2 +1 haut et bas :
[tex]x \ \textless \ \frac{\sqrt 2 +1}{\left(\sqrt 2 -1\right)\left(\sqrt 2 +1\right)}\\ x \ \textless \ \sqrt 2 +1[/tex]

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)