Bonsoir, Voilà, je suis en train de traiter un Dm de mathématiques et mon professeur nous a mis un exercice sur les polynômes du 3ème degré alors qu'on ne les a

c'est  du troisième degré  mais  il n'y a rien à savoir sur la  théorie du troisième degré

ici c'est la théorie du deuxième degré qui  est utile et  la théorie générale des polynômes 

a)  2 racine de  P   signifie que si on remplace x par 2  le résultat est 0

c'est VRAI :  2^3 = 8          2^2 = 4          8 - 6*4 + 11*2  - 6 = 8 - 24 +22 - 6 = 0 

la  formule la plus importante de l'algèbre  c'est

" un produit de facteurs est nul si et seulement  si un facteur est  nul" 

donc P(2)=0  signifie que forcément  un facteur de P  est nul   pour  2

donc P  possède au  moins  un facteur 

comme  son degré est  3  il possède au  maximum  3 facteurs

P  peut  donc avoir 1 ; 2 ou 3 facteurs

et comme on a prouvé qu'un facteur  s'annule  pour 2  ce facteur est  (par exemple)

x-2   (  ça pourrait aussi  être 2x-4 ;  -x +2  ; etc   mais  ici  il y a rien devant x^3  )

donc  forcément  P(x)=(x-2)(x² + bx +c)   le " a"  ne peut être qu'égal à 1

puisqu'il correspond au coefficient de x^3   ( ici 1 )

le c  va aussi être vite trouvé car  il résulte de  -2*c= -6  ( le dernier terme de P)

c= 3

il reste plus qu'à trouver b

P(x )  =  (x-2)(x² +  bx  + 3)   = x^3  + bx^2 +  3x  - 2x²  -2bx  -  6  = 

x^3  + bx^ 2 -  2x^2  +  3x - 2bx -6  = x^3 - 6x² + 11x  -  6

si on réfléchit bien

bx² - 2x² =  -6x²  ET   3x - 2bx = 11x         on trouve b facilement

b= -4