Bonsoir j'ai deux questions : Soit f la fonction définie sur R privé de 1 par f(x)= (-2x²+3x+1)/(x+1) 1) Démontrer qu'il existe trois réels a,b,c tels que tout

Bonjour KhaChou75

1) Démontrer qu'il existe trois réels a,b,c tels que tout réel x différent de I, f(x)= ax+b+c/(x-1)

[tex]f(x)=\dfrac{-2x^2+3x+1}{x-1}\\\\f(x)=\dfrac{-2x^2+2x+x+1}{x-1}\\\\f(x)=\dfrac{-2x(x-1)+x+1}{x-1}\\\\f(x)=\dfrac{-2x(x-1)+x-1+2}{x-1}\\\\f(x)=\dfrac{-2x(x-1)+(x-1)+2}{x-1}\\\\f(x)=\dfrac{-2x(x-1)}{x-1}+\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{2}{x-1}[/tex].

[tex]\\\\\boxed{f(x)=-2x+1+\dfrac{2}{x-1}}[/tex]

Donc a = -2 ; b = 1 et c = 2.

2) Etudiez les variations de f sur chacun des intervalles où elle est définie

La fonction f est la somme des fonctions g et h respectivement définies par [tex]g(x)=-2x+1[/tex]  et  [tex]h(x)=\dfrac{2}{x-1}[/tex]

La fonction g est strictement décroissante [tex]\mathbb{R}[/tex] car g est une fonction affine dont le coefficient directeur est égal à -2 et est négatif.
Donc g est décroissante sur  les intervalles ]-oo ; 1[ et  ]1 ; +oo[

La fonction h est strictement décroissante sur les intervalles ]-oo ; 1[ et  ]1 ; +oo[ car elle possède la même croissance que la fonction inverse.

La somme de deux fonctions décroissantes est une fonction décroissante.

Puisque f est la somme des fonctions g et h strictement décroissantes sur  les intervalles ]-oo ; 1[ et  ]1 ; +oo[, nous en déduisons que la fonction f est strictement décroissante sur les intervalles ]-oo ; 1[ et  ]1 ; +oo[.