Bonsoir , je travaille sur un devoir de mathématiques, l'énoncé est le suivant : Soit P un polynôme du second degré possédant deux racines réelles x1 et x2. mon
Question
je travaille sur un devoir de mathématiques, l'énoncé est le suivant :
"Soit P un polynôme du second degré possédant deux racines réelles x1 et x2.
montrer que le polynôme P est alors de la forme :
pour tout réel x, p(x)=a[x²-(x1+x2)x+x1x2] "
Le but est de démontrer la somme et produit de racines P et S.
ma question est la suivante : comment faire pour passer de la forme développée de P(x) à cette forme? faut-il que je mette la forme développée en forme canonique puis en forme factorisée ou y-a-t-il un chemin plus court ?
merci d'avance pour vos réponses !
1 Réponse
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1. Réponse laurance
sachant que P(x) = ax² + bx + c
a deux racines il s'annule deux fois
pour la racine x1
ax1² + bx1 + c = 0
pour la racine x2
ax2² + bx2 + c = 0
on déduit
c= -a x1² - bx1
donc
ax2² + bx2 - ax1² - bx1 = 0
a(x2² - x1²) + b(x2 -x1) =
a(x2 - x1)(x2 + x1) + b(x2 -x1)= 0
si x1 ≠ x2
a(x1 + x2 ) + b = 0 b = - a(x1 + x2)
et en remplaçant
c = -ax1² +ax1(x1 +x2) = -ax1² + ax1² + ax1x2
c = a x1x2
les deux formules permettent
d'une part
d'obtenir la somme x1 +x2 = - b/a et le produit x1x2 = c/a
d'autre part une factorisation de P(x) :
P(x) = ax² - a(x1+x2) x + ax1 x2 on retrouve l'égalité demandée
P(x)= ax² - ax1x - ax2x + ax1x2
P(x)=ax(x - x1) - ax2( x - x1)
P(x)= (x - x1)(ax - ax2)
P(x)=a(x - x1)(x -x2)