soit f une fonction continu, f:[a,b]->R, telle que f(a) = f(b). montrer que la fonction g(t) =f(t + (b-a)/2) - f(t) s annule en au moins un point de [a, (a+b)/2
Mathématiques
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Question
soit f une fonction continu, f:[a,b]->R, telle que f(a) = f(b). montrer que la fonction g(t) =f(t + (b-a)/2) - f(t) s annule en au moins un point de [a, (a+b)/2]. merci
1 Réponse
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1. Réponse laurance
g(a) = f(a + b/2 -a/2) - f(a) = f(a/2 + b/2) - f(a)f(a/2 +b/2) = f(a/2 +b/2 +b/2 -a/2) - f(a/2 +b/2) = f(b) - f(a/2 + b/2)
or f(b)=f(a)
f(a/2 +b/2) = f(a) - f(a/2 + b/2) ce qui est l'opposé du précédent
montre que f(a) et f(a/2 +b/2) sont de signes contraires
montre que l'image par g de [a ; (a+b) /2] est un intervalle ( car g continue aussi ) qui contient 0
donc g s'annule au moins une fois
je crois que le raisonnement c'est à peu prés ça ( th des valeurs intermédiaires , sans unicité bien sûr)