Bonjour j'ai un DNS pour demain et un exercice me pose problème . Le voici : Soit f(x)=(x - 4 ) ² + 2x ( x + 5 ) - 17 1) Démontrer que pour tout x réel , on a :

Bonjour,

1)
On développe f(x)
f(x) = x² - 8x + 16 + 2x² + 10x -17 = 3x² + 2x  - 1
On factorise cette dernière expression.
C'est un trinôme du second degré par rapport à x.
On remarque que 3 + (-1) = 2; Une de ses racines est donc -1.
Le produit des racines est -1/3; donc la seconde racine est (-1/3) / (-1) = 1/3
Le trinôme peut alors prendre la forme équivalente :
3(x + 1)(x - 1/3) = (x +1)(3x - 1) = (3x - 1)(x + 1)

2)
La forme développée de f(x) est 3x² + 2x  - 1
La forme factorisée de f(x) est  (3x - 1)(x + 1)

3)
a- Pour calculer f(0) on utilisera la forme factorisée
b- Pour calculer f(-1) on utilisera la forme factorisée
c-
f(x) = 0 ⇔ (3x - 1)(x +1) = 0 ⇒ 3x - 1 = 0 OU x +1 = 0 ⇔
x = 1/3 OU x = -1
f(x) = -1 ⇔ 3x² +2x - 1 = -1 ⇔ 3x² + 2x - 1 +1 = 0 ⇔ 3x² + 2x = 0 ⇔
x(3x + 2) = 0 ⇒ x = 0 OU x = -2/3