trouver tous les nombres xet y entiers naturels telque : 1/x+1/y=1/7

Bonjour Boujire

Puisque x et y sont des entiers naturels, il est clair que x et y doivent être supérieurs à 7.

Posons : x = 7 + a
               y = 7 + b

[tex]\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{7}\\\\\dfrac{1}{7+a}+\dfrac{1}{7+b}=\dfrac{1}{7}\\\\\\\dfrac{1\times(7+b)}{(7+a)(7+b)}+\dfrac{1\times(7+a)}{(7+b)(7+a)}=\dfrac{1}{7}\\\\\\\dfrac{7+b+7+a}{(7+a)(7+b)}=\dfrac{1}{7}\\\\\\\dfrac{14+a+b}{(7+a)(7+b)}=\dfrac{1}{7}[/tex]

[tex]7(14+a+b)=(7+a)(7+b)\\\\98+7a+7b=49+7b+7a+ab\\\\98+7a+7b-49-7b-7a=ab\\\\\boxed{ab=49}[/tex]

Les seules possibilités pour a et pour b sont :
a = 1 et b = 49
 a = 49 et b = 1
a = b = 7

Si a = 1 et b = 49, alors x = 1 + 7 = 8 et y = 49 + 7 = 56.
Si a = 49 et b = 1, alors x = 49 + 7 = 56 et y = 1 + 7 = 8
Si a = b = 7, alors x = y = 14

Donc, les couples d'entiers naturels (x ; y) vérifiant la relation 1/x+1/y=1/7 sont :

(8 ; 56)
(56 ; 8)
(14 ; 14)