Je remercie d'avance celui ou celle qui m'aidera pour cet exercice ... Merci et passez une bonne soiree Desoler pour les pieces jointes mais je n'arrive pas a l

Bonjour  Maximedegrange

1. a. Sur l’axe des abscisses, placer u0 puis construire u1; u2 et u3 en laissant apparents les traits de construction.

Voir pièce jointe.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite (un) ?

On peut conjecturer que la suite (un) est strictement décroissante et que cette suite converge vers une valeur proche de 1 et supérieure ou égale à 1.

.2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a un - 1 > 0.

Initialisation :
Montrons que la propriété est vraie pour n = 0
u0 = 5 ==> u0 - 1 = 4
Donc u0 - 1 > 0

Par conséquent, l'initialisation est vraie.

Hérédité :
Si la propriété est vraie au rang n, montrons qu'elle est encore vraie au rang (n+1).

Si [tex]u_n- 1 \ \textgreater \ 0[/tex], alors montrons que  [tex]u_{n+1}-1 \ \textgreater \ 0[/tex]

[tex]u_{n+1}-1 = \dfrac{4u_n-1}{u_n+2}-1\\\\[/tex]

[tex]u_{n+1}-1= \dfrac{4u_n-1}{u_n+2}-\dfrac{u_n+2}{u_n+2}[/tex]

[tex]u_{n+1}-1= \dfrac{4u_n-1-u_n-2}{u_n+2}[/tex]

[tex]u_{n+1}-1= \dfrac{3u_n-3}{u_n+2}[/tex]

[tex]u_{n+1}-1= \dfrac{3(u_n-1)}{u_n+2}[/tex]

Par hypothèse, un - 1 > 0 ==> 3 (un - 1) > 0
un - 1 > 0 ==> un > 1 ==> un + 2 > 3 > 0

D'où  [tex]\dfrac{3(u_n-1)}{u_n+2}\ \textgreater \ 0[/tex]

Par conséquent,   [tex]u_{n+1}-1 \ \textgreater \ 0[/tex]

L'hérédité est donc vraie.

Conclusion, la propriété [tex]u_n- 1 \ \textgreater \ 0[/tex] est vraie pour tout entier naturel n.

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.

Montrons que la suite (un) est strictement décroissante et est minorée par 1.

[tex]u_{n-1}-u_n=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}-u_n[/tex]

[tex]u_{n-1}-u_n=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}-\dfrac{u_n(u_n+2)}{u_n+2}[/tex]

[tex]u_{n-1}-u_n=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}-\dfrac{u_n^2+2u_n}{u_n+2}[/tex]

[tex]u_{n-1}-u_n=\dfrac{4u_n-1-u_n^2-2u_n}{u_n+2}[/tex]

[tex]u_{n-1}-u_n=\dfrac{-u_n^2+2u_n-1}{u_n+2}[/tex]

[tex]u_{n-1}-u_n=\dfrac{-(u_n^2-2u_n+1)}{u_n+2}[/tex]

[tex]u_{n-1}-u_n=\dfrac{-(u_n-1)^2}{u_n+2}[/tex]

[tex]-(u_n-1)^2\ \textless \ 0\ \ et\ \ u_n+2\ \textgreater \ 0[/tex]

D'où, [tex]\dfrac{-(u_n-1)^2}{u_n+2}\ \textless \ 0[/tex]

Par conséquent, 
[tex]u_{n-1}-u_n\ \textless \ 0\\u_{n-1}\ \textless \ u_n[/tex]

Puisque cette dernière relation est vraie pour tout naturel n, on en déduit alors que la suite (un) est strictement décroissante.

Puisque nous avons démontré que [tex]u_n- 1 \ \textgreater \ 0[/tex], soit que [tex]u_n \ \textgreater \ 1[/tex] pour tout naturel n, nous en déduisons que la suite (un) est minorée par 1

Par conséquent, la suite (un) étant strictement décroissante et minorée par 1, alors cette suite (un) converge vers une limite qui sera un nombre supérieur ou égal à 1.

3. Dans cette question, on se propose d’étudier la suite (un) par une autre méthode, en déterminant une expression de un en fonction de n.
Pour tout nombre entier naturel n, on pose [tex]v_n = \dfrac{1}{u_n-1}[/tex]

a. Démontrer que la suite (vn) est une suite arithmétique de raison 1/3.

[tex]v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_{n}-1}[/tex]

[tex]v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{1}{\dfrac{3(u_n-1)}{u_n+2}}-\dfrac{1}{u_{n}-1}[/tex]

[tex]v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{u_n+2}{3(u_n-1)}-\dfrac{1}{u_{n}-1}[/tex]

[tex]v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{u_n+2}{3(u_n-1)}-\dfrac{3}{3(u_{n}-1)}[/tex]

[tex]v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{u_n+2-3}{3(u_n-1)}[/tex]

[tex]v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{u_n-1}{3(u_n-1)}[/tex]

[tex]v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{1}{3}[/tex]

[tex]v_{n+1}=v_{n}+\dfrac{1}{3}[/tex]

Par conséquent, la suite (vn) est arithmétique de raison 1/3.

Le premier terme de cette suite est  [tex]v_0=\dfrac{1}{u_0-1}=\dfrac{1}{5-1}=\dfrac{1}{4}[/tex]

b. Pour tout nombre entier naturel n, exprimer vn puis un en fonction de n.

[tex]v_n=v_0+nr\\\\v_n=\dfrac{1}{4}+n\times\dfrac{1}{3}[/tex]

[tex]v_n=\dfrac{1}{4}+\dfrac{n}{3}[/tex]

[tex]\boxed{v_n=\dfrac{3+4n}{12}}[/tex]

[tex]v_n=\dfrac{1}{u_n-1}\Longleftrightarrow u_n-1=\dfrac{1}{v_n}\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}+1[/tex]

Donc,

[tex]\boxed{u_n=\dfrac{12}{3+4n}+1}[/tex]

c. En déduire la limite de la suite (un).

[tex]\lim\limits_{n\to+\infty} (3+4n)=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty} (\dfrac{12}{3+4n})=0[/tex]

[tex]\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty} (\dfrac{12}{3+4n}+1)=1[/tex]

[tex]\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=1}[/tex]