Pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?! C'est tres urgent !! Merci d'avance Desolee pour les pieces jointes a l'envers :/

Bonjour Coraliedu59

[tex]1)\ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+n-2[/tex]

[tex]u_{1}=-\dfrac{1}{3}u_0+0-2=\dfrac{1}{3}\times1-2=\dfrac{1}{3}-2=-\dfrac{5}{3}[/tex]

[tex]\boxed{u_{1}=-\dfrac{5}{3}}[/tex]

[tex]u_{2}=-\dfrac{1}{3}u_1+1-2=\dfrac{1}{3}\times(-\dfrac{5}{3})-1=\dfrac{1}{3}-2=-\dfrac{5}{9}-1=-\dfrac{14}{9}[/tex]

[tex]\boxed{u_{2}=-\dfrac{14}{9}}[/tex]

[tex]u_{3}=-\dfrac{1}{3}u_2+2-2=\dfrac{1}{3}\times(-\dfrac{14}{9})=-\dfrac{14}{27}[/tex]

[tex]\boxed{u_{3}=-\dfrac{14}{27}}[/tex]

2) Algorithme.

U = 1
N = 0
Tant que U ≤ 100 faire
    N prend la valeur N+1
    U prend la valeur (1/3)*U+N-2
Fin tantque
Afficher N

3) a) Démontrons par récurrence la propriété suivante : pour tout naturel n ≥ 4, un ≥ 0.
Initialisation :
Montrons que la propriété est vraie pour la plus petite valeur de n, soit pour n=4.
[tex]u_4=\dfrac{67}{81}\ge0[/tex]
L'initialisation est donc vraie.

Hérédité
Supposons la propriété vraie au rang n (pour tout n≥4) et montrons qu'elle est encore vraie au rang n+1.
Supposons que [tex]u_n\ge0[/tex] et montrons que  [tex]u_{n+1}\ge 0[/tex]

[tex]u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+n-2\ge n-2[/tex]  car [tex]u_n\ge0[/tex]

[tex]u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+n-2\ge n-2\ge 4-2\ \ \ car\ \ n\ge4[/tex]

[tex]u_{n+1}\ge 4-2\\u_{n+1}\ge 2\ge0[/tex]
Par conséquent, [tex]u_{n+1}\ge 0[/tex]
L'hérédité est donc vraie.

Par conséquent,  pour tout naturel n ≥ 4, un ≥ 0.

b) Démontrons par récurrence que pour tout naturel n≥5, un ≥ n-3
Initialisation : montrons la propriété pour n = 5, soit que u5 ≥5-3, soit que u5 ≥ 2

[tex]u_5=\dfrac{553}{243}\ \textgreater \ 2[/tex]
L'initialisation est vraie.
Hérédité :
Pour tout naturel n≥5, [tex]u_n\ge n-3[/tex], montrons que [tex]u_{n+1}\ge (n+1)-3\\u_{n+1}\ge n-2[/tex]
En effet,  si n≥5, alors n≥4.
Donc nous savons que  [tex]u_n\ge0[/tex] 

[tex]u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+n-2\ge n-2\ \ car\ \ u_n\ge0[/tex]

D'où, [tex]u_{n+1}\ge n-2[/tex]
L'hérédité est vraie.

Par conséquent, pour tout naturel n≥5, un ≥ n-3

c) Calcul de la limite.

[tex][u_n\ge n-3\ \ et\ \ \lim\limits_{n\to+\infty}(n-3)=+\infty]\Longrightarrow\ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty}[/tex]

[tex]4)a)\ v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}[/tex]

[tex]v_{n+1}=-2u_{n+1}+3(n+1)-\dfrac{21}{2}[/tex]

[tex]v_{n+1}=-2(\dfrac{1}{3}u_{n}+n-2)+3n+3-\dfrac{21}{2}[/tex]

[tex]v_{n+1}=-\dfrac{2}{3}u_{n}-2n+4+3n+3-\dfrac{21}{2}[/tex]

[tex]v_{n+1}=-\dfrac{2}{3}u_{n}+n-\dfrac{7}{2}[/tex]

[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{3}(-2u_{n}+3n-\dfrac{21}{2})[/tex]

[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n[/tex]

Par conséquent, la suite (vn) est géométrique de raison 1/3.

Le premier terme est  [tex]v_0=-2u_0+3\times0-\dfrac{21}{2}=-2-\dfrac{21}{2}=\boxed{-\dfrac{25}{2}}[/tex]

[tex]b)\ v_n=v_0\times(\dfrac{1}{3})^n[/tex]

[tex]\boxed{v_n=-\dfrac{25}{2}\times(\dfrac{1}{3})^n}[/tex]

[tex]c)\ v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}[/tex]

[tex]-\dfrac{25}{2}\times(\dfrac{1}{3})^n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}[/tex]

[tex]2u_n=\dfrac{25}{2}\times(\dfrac{1}{3})^n+3n-\dfrac{21}{2}[/tex]

[tex]u_n=\dfrac{1}{2}(\dfrac{25}{2}\times(\dfrac{1}{3})^n+3n-\dfrac{21}{2})[/tex]

[tex]\boxed{u_n=\dfrac{25}{4}\times(\dfrac{1}{3})^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}}[/tex]

[tex]5)a)\ S_n=\sum\limits_{k=0}^n v_k=v_0\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}[/tex]

[tex]S_n=-\dfrac{25}{2}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}}{\dfrac{2}{3}}[/tex]

[tex]\boxed{S_n=-\dfrac{75}{4}\times[1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}]}[/tex]

[tex]b)\ T_n=\sum\limits_{k=0}^n u_k=\sum\limits_{k=0}^n [\dfrac{25}{4}(\dfrac{1}{3})^k+\dfrac{3}{2}k-\dfrac{21}{4}][/tex]

[tex]T_n=\dfrac{25}{4}\sum\limits_{k=0}^n (\dfrac{1}{3})^k+\dfrac{3}{2}\sum\limits_{k=0}^n k-\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{21}{4}[/tex]

[tex]T_n=\dfrac{25}{4}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}+\dfrac{3}{2}\times\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{21}{4}(n+1)[/tex]

[tex]T_n=\dfrac{25}{4}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}}{\dfrac{2}{3}}+\dfrac{3}{4}\times n(n+1)-\dfrac{21}{4}(n+1)[/tex]

[tex]\boxed{T_n=\dfrac{75}{8}\times[1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}]+\dfrac{3}{4}(n+1)(n-7)}[/tex]