Bonjour a tous besoin de votre aide pour ceci : Prouver qu'un point est un milieu, un centre de gravité. ABC est un triangle quelconque, le point I est le milie

Bonjour Priscilliafauve

Figure en pièce jointe.

1) Montrer que G est le milieu de [AJ].

JCGI est un parallélogramme ==) les droites (IG) et (JC) sont parallèles et IG = JC

Or  [tex]\overrightarrow{CJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\Longrightarrow\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CJ}[/tex]
D'où, en longueurs, BC = 3 JC.

Les points B, J et C sont alignés dans cet ordre.
Donc 
[tex]BJ + JC = BC\\ BJ + JC = 3 JC[/tex]

[tex]BJ = 3 JC - JC\\ BJ = 2 JC [/tex]

Des relations  BJ = 2 JC et JC = IG, nous en déduisons que BJ = 2IG.

Par Thalès dans le triangle ABJ, 

[tex]\dfrac{AB}{AI}=\dfrac{AJ}{AG}=\dfrac{BJ}{IG}[/tex]

[tex]\dfrac{AB}{AI}=\dfrac{AJ}{AG}=\dfrac{2IG}{IG}[/tex]

[tex]\dfrac{AB}{AI}=\dfrac{AJ}{AG}=2[/tex]

[tex]\dfrac{AJ}{AG}=2\Longrightarrow \boxed{AJ=2AG}[/tex]

Par conséquent, 
G est le milieu de [AJ]

2) Montrer que G est le centre de gravité du triangle ACI.

Soit M le point d'intersection des deux diagonales du parallélogramme JCGI

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieu.
Donc M est le milieu de [IC] et M est le milieu de [GJ]

D'où  GM = MJ
soit [tex]GM=\dfrac{1}{2}GJ[/tex]

Or AG = GI car G est le milieu de [AJ] (voir question 1)

D'où  [tex]GM=\dfrac{1}{2}AG[/tex]

Nous en déduisons que le point G se trouve au tiers de [AM] à partir de M.

Par conséquent, G est le centre de gravité du triangle ACI