Bonsoir j'aurais besoin d'un peti coup de main svp!!! c'est sur les suites arithmético-géométrique Dans cette question , toute trace de recherche, même incomplè

Bonjour Lat1997rach

D'une semaine à la semaine suivante, 5 % des enfants ne se réinscrivent pas à la natation.
Dans cette même période, 10 nouveaux enfants s'y inscrivent.

Par conséquent, 
[tex] u_{n+1}=0,95\times un+10[/tex]

Pour tout entier naturel n, posons [tex]v_n=u_n-200[/tex] et montrons que la suite (vn) est une suite géométrique.

[tex]v_{n+1}=u_{n+1}-200\\\\v_{n+1}=0,95\times u_n+10-200[/tex]

[tex]v_{n+1}=0,95\times u_n-190\\\\v_{n+1}=0,95\times u_n-0,95\times200[/tex]

[tex]v_{n+1}=0,95\times (u_n-200)\\\\\boxed{v_{n+1}=0,95\times v_n}[/tex]

D'où la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,95.

Calculons son premier terme.
[tex]v_0=u_0-200=80-200\\\\v_0=-120[/tex]

Par conséquent,
[tex]\boxed{v_n=-120\times0,95^n}\\\\v_n=u_n-200\Longrightarrow u_n=200+v_n\Longrightarrow \boxed{u_n=200-120\times0,95^n}[/tex]

Après combien de semaines, le contexte restant le même, le nombre d'enfants inscrits à la piscine dépassera-t-il 150 ?

Il faut déterminer le plus petit entier n tel que [tex]200-120\times0,95^n\ \textgreater \ 150[/tex]

En donnant des valeurs croissantes successives à n et en utilisant le tableur de la calculatrice, nous obtenons n = 18.

Nous obtiendrons également cette valeur de n en résolvant l'inéquation  [tex]200-120\times0,95^n\ \textgreater \ 150[/tex]

[tex]-120\times0,95^n\ \textgreater \ 150-200\\\\-120\times0,95^n\ \textgreater \ -50[/tex]

[tex]0,95^n\ \textless \ \dfrac{-50}{-120}\\\\[/tex]

[tex]0,95^n\ \textless \ \dfrac{5}{12}[/tex]

[tex]\ln(0,95^n)\ \textless \ \ln(\dfrac{5}{12})[/tex]

[tex]n\times\ln(0,95)\ \textless \ \ln(\dfrac{5}{12})[/tex]

[tex]n\ \textgreater \ \dfrac{\ln(\dfrac{5}{12})}{\ln(0,95)}\ \ \ (car\ \ln(0,95)\ \textless \ 0)[/tex]

Or  [tex]\dfrac{\ln(\dfrac{5}{12})}{\ln(0,95)}\approx17,07[/tex]

D'où le plus petit entier n vérifiant l'inéquation est n = 18.

Par conséquent,
le nombre d'enfants inscrits à la piscine dépassera 150 après 18 semaines.