On considère la fonction f définie de R vers R définie par f(x)= |x-a|+|x-b|. 1°) Donner l'expression de f suivant la position de x par rapport à a et b. 2°) D
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Question
On considère la fonction f définie de R vers R définie par f(x)= |x-a|+|x-b|.
1°) Donner l'expression de f suivant la position de x par rapport à a et b.
2°) Donner le tableau de variation de f et de sa courbe représentative.
3°) Quel est le minimum de f sur R .
4°) En déduire que pour tout réel x : |x-a|+|x-b| ≥ b-a
Je suis complètement bloqué, je n'y arrive pas du tout, j'espère que vous sauriez m'aider.
Merci d'avance.
1°) Donner l'expression de f suivant la position de x par rapport à a et b.
2°) Donner le tableau de variation de f et de sa courbe représentative.
3°) Quel est le minimum de f sur R .
4°) En déduire que pour tout réel x : |x-a|+|x-b| ≥ b-a
Je suis complètement bloqué, je n'y arrive pas du tout, j'espère que vous sauriez m'aider.
Merci d'avance.
1 Réponse
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1. Réponse laurance
il faudrait tout de même savoir si a est plus grand ou plus petit que b
je vais traiter le cas où a est plus petit que b
1°)
x varie dans IR il peut donc être :
soit inférieur à a : ( x < a)
dans ce cas x -a et x - b sont négatifs f(x) = -(x -a) - (x - b) = -2x +a+b
soit entre a et b : ( a < x < b)
dans ce cas x -a est positif et x -b est négatif f(x) = (x-a)-(x-b)= b - a
soit supérieur à b : ( x > b)
dans ce cas x - a et x - b sont positifs et f(x )= (x -a) + (x -b) = 2x - a -b
2°)
la fonction f est donc décroissante si x <a car le coefficient de x ( -2) est négatif
la fonction f est constante entre a et b
la fonction f est croissante si x > b car 2 >0
3°)
le minimum de f est atteint quand x est entre a et b et vaut b -a
4°)
comme b-a est le minimum f(x) est supérieur ( ou égal) à b -a