Bonjour jaimerai que vous maidier dans mn devoir de math svp Soit un triangle ABC , I le milieu de [BC] , O le milieu de [AI] . La droite (CO) coupe [BC] en M e

Bonjour Mthiam43,

1) Mener par I, la parallèle à la droite (BM); elle coupe (MC) en J.

(AM) // (IJ) ==> Les angles MAO et OIJ sont alternes internes.

D'où  [tex]\widehat{MAO}=\widehat{OIJ}[/tex]

Les angles MOA et IOJ sont opposés par le sommet.

D'où [tex]\widehat{MOA}=\widehat{IOJ}[/tex].

AO = OI car O est le milieu de [AI].

Par conséquent, les triangles AOM et IOJ sont isométriques.

On en déduit que  [tex]\boxed{AM = IJ}}[/tex]

De plus, dans le triangle CMB, (IJ) est parallèle à (MB) et I est le milieu de [BC].

Selon la réciproque du théorème des milieux, nous en déduisons que [tex]\boxed{IJ=\dfrac{1}{2}MB}[/tex]

[tex]AM = IJ[/tex]  et  [tex]IJ=\dfrac{1}{2}MB[/tex] entraînent  que  [tex]AM=\dfrac{1}{2}MB[/tex], soit que [tex]\boxed{MB=2AM}[/tex]

Or, 

[tex]AB=AM+MB\\\\AB=AM+2AM\\\\AB=3AM\\\\\boxed{AM=\dfrac{1}{3}AB}[/tex]

2) Par une démonstration analogue, nous montrerions que [tex]\boxed{AN=\dfrac{1}{3}AC}[/tex]

Par conséquent, en vertu de la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle ABC, nous en déduisons que les droites (MN) et (BC) sont parallèles