Bonjour à tous et à toutes, En vu du DS qui se prépare ce Vendredi, sur les COMPLEXES je m'entraîne à un type d'exo qui risque de ce retrouver sur nos poly ce V

1) cette question signifie qu'il  faut remplacer  z par -1  dans P(z) et obtenir 0

en effet   P(-1)= 4 *(-1)^3 + 2 *(-1)^2 - 3 *(-1) - 1 = -4  + 2  +3 -1  = 0 
on va conclure en disant que  -1  est une racine de P(z)
remarque : il  faut savoir que dans  C  tout polynôme de degré  n possède  n  racines   donc   ton  P(z)  qui est de degré 3  a forcément 3 racines ( pas nécessairement distinctes  !  )
2) c'est une question " d'identification"   il  faut  trouver  a ; b et c  en  s'appuyant sur le fait  que  P(z)  et  (z+1)(az² + bz +c)  sont   identiques  ( un seul et même polynôme)
dona  deux des trois réels a , b c sont évidents  :  a =4   et  c = -1   il ne rest en fait que  b à trouver   pour que   P(z) =(z+1)(4z² + bz  -1 )
la méthode est de développer  le produit : 
4z^3 +bz²  - 1z  + 4z²  +bz -1 = 4z^3  + 2z²   -3z  -1  d'où 
bz² + 4z² - 1z  + bz =  2z²  - 3z     et      bz²  +   bz =  - 2z²  - 2z  conduit facilement
à  b = -2
conclusion   P(z) =  (z +1)(4z²  - 2z  -1 )
c) résolution de l'équation    on retrouve  bien entendu  la solution   z = -1
pour  les deux autres  on utilise  les formules  classiques
delta = ( -2)² +16  = 20          z1 = ( 2 +  rac(20) )  / 8    z2 =( 2 - rac(20) )/ 8
question 2
comme tu dis que c'est un exerccie sur les complexes je suppose que c'est là que  ça doit apparaître ?
il doit falloir utiliser  la formule  ( cos t + i sint )^3 = cos(3t) +  isin (3t)
en développant  à droite 
(cost)^3 + 3(cost)²(isint) + 3(cost)(isint)² + ( isint)^3 = cos(3t)+isin(3t)
et en déduire que   (cost)^3  - 3cost( sint)² = cos(3t) 
partie réelle = partie réelle
pour terminer le calcul  remplacer    (sint)²  par   1 -(cost)²
(cost)^3 -  3cost( 1 -  (cost)² ) = cos(3t)
on retrouve bien  4 (cost)^3  - 3cost =  cos(3t)

maintenant  le calcul de   cos(3t) + cos(2t)  en fonction de cost  :
cos(3t) = 4 (cost)^3 - 3 cost
cos(2t) = 2(cost)² - 1  
en ajoutant   et en odonnant
cos(3t) +  cos(2t) =  4(cost) ^3 +  2(cost)^2 - 3cost - 1 = P(cost)
question 2
la justification  vient de 
cos( pi - x) =  - cos(x)      avec  x = 2pi/5 
  pi  -x   = pi - 2pi/5  = 3 pi / 5
cos( 3pi/5)=  - cos( 2pi/5)
cos(3pi/5) + cos(2 pi/5) = 0
dernière question
remplace  t  par  pi /5  et utilises la formule
cos(3t) + cos( 2t) = P(cost)    ça devient
cos( 3*pi/5)  + cos( 2* pi/5) = P( cos(pi/5) )  = 0
conclusion 
cos( pi/5 )  est  l'une des trois racines de P 
mais  on sait que  cos( pi/5)  est compris  entre 0 et 1
la seule racine positive sur les trois est
( 2 + rac(20) ) /8   ou  ( 1 + rac(5 ) ) / 4