Bonsoir ! Comment démontrer que sur l'intervalle 0;2 ; on a -4 [tex] \leq h(x) \leq \frac{11}{4} [/tex] pour h(x) = 4 x^{3} [/tex]-15x²+12x ? Mercii :)

Bonjour Charliine

[tex]h(x)=4x^3-15x^2+12x\\\\h'(x)=12x^2-30x+12[/tex]

Signe de la dérivée h'(x) et variation de la fonction h.

Racines de la dérivée :
[tex]12x^2-30x+12=0\\6(2x^2-5x+2)=0\\2x^2-5x+2=0\\\Delta=(-5)^2-4\times2\times2=25-16=9\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{5-\sqrt{9}}{4}=\dfrac{5-3}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\\\\x_2=\dfrac{5+\sqrt{9}}{4}=\dfrac{5+3}{4}=\dfrac{8}{4}=2\\\\ \begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&\frac{1}{2}&&2&&+\infty \\ h'(x)=12x^2-30x+12&&+&0&-&0&+&\\h(x)&&\nearrow&\frac{11}{4}&\searrow&-4&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]

soit, sur l'intervalle [0 ; 2],

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\frac{1}{2}&&2 \\ h'(x)&&+&0&-&0\\h(x)&0&\nearrow&\frac{11}{4}&\searrow&-4\\ \end{array}[/tex]

D'où, sur l'intervalle [0 ; 2], le minimum de la fonction h est égal à -4 et le maximum est égal à 11/4.

Par conséquent, 

[tex]\boxed{si\ x\in[0\ ;\ 2],\ alors\ -4\le h(x)\le\dfrac{11}{4}}[/tex]