soit n un nombre entier naturel tel que n >4 1) montrer que le nombre est pair 2) monter que n^2-5n+4 est pair 3)déduire que le nombre n^4-17n^2+16 est un mult

1)  quel nombre ??

2) n² -5n +4

supposons que  n soit  pair   n = 2p    alors   n² -5n + 4 =  4p² - 10p  +4  ce nombre est multiple de 2  donc pair

supposons que n soit  impair   n=2p+1  alors  n² -5n +4 = 4p²+4p+1-10p-5+4

= 4p² -6p   ce nombre est  encore pair

que n soit pair ou impair   n² -5n+4  est donc pair

3)n^4 - 17n^2 + 16  = n^2(n^2-17)  + 16

même méthode

si n est pair   n=2p     d'où  n^2(n^2-17) +16 =  4p²(4p² -17) +16  = 4[ p²(4p²-17) +4]   multiple de 4

si n est impair  on obtient 

n^2(n^2-17) +16 = (4p²+4p+1)(4p²+4p-16)  + 16    = [ 4p(p+1)   +1 ][4p(p+1)    -16 ]+16

si on développe  ou trouve bien un multiple de 4   :

16p²(p+1)²   -60p(p+1)