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Question

Bonjour je voudrais de l'aide pour cet exo :

Une usine fabrique des boites de conserve cylindriques de volume 1L soit 1000cmcube. On souhaite minimiser la quantité d'acier nécessaire à la fabrication d'une boîte
x est strictement supérieur a 0 et inférieur ou égale a 15

1) a volume d'un cylindre
. b en déduire: pour tout x appartenant a ]0,15], h(x) = 1000/x

2) a nombre de faces du cylindre
. b montrer: pour tout x appartenant au même intervalle A(x)=2pi foi x ^2+2000/x

1 Réponse

  •    On a un cylindre de rayon r (>0) et de hauteur h (>0). On veut que son volume V soit de 1L, 
    et que sa surface S soit minimale (pour utiliser le minimum de métal). 
    Puisque la boîte est un cylindre, V = pi.r².h = 1 litre (ou dm cube, donc r est en dm et h en dm), 
    donc h = 1/(pi.r²). 
    La surface du cylindre, c'est les deux disques plus le tour cylindrique, donc 
    S = 2.pi.r² + 2.pi.r.h = 2.pi.r² + 2.pi.r/(pi.r²) d'où S(r) = 2.pi.r² + 2/r. 
    On veut que S soit minimal : on veut donc que la dérivée de S par rapport à r soit nulle. 
    S'(r) = 4.pi.r - 2/r² = 0, on résout dans R, et on trouve au moins 1/[racine cubique de 2.pi] = 0,54 dm. 
    De là on peut aussi calculer h : on trouve 1,08 dm.  

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