Bonjour, voici les questions auxquelles je dois répondre : 1) Résolvez le système⇔ iu+v=2+i où u et v sont des nombres complexe. u-v=2+i 2)Soit l'équation (E)

1)  tu fais  la méthode de  substitution   la plus simple   v = 2 + i  - iu  ( equ 1)

puis   u - (2 + i - iu)  =  2 + i   (equ 2 )     tu vas trouver  u 

u + i u  =  2 ( 2 +i)      donc  u(1+i) = 2(2+i)    si tu utilises justement le conjugué

u(1 +i )( 1 - i)  =2 ( 2 +i )( 1- i)     et comme   ( 1+ i)(1 - i) = 2

2u = 2( 2 -2i + 1i  - i² )     u =  2 - 2i + i  + 1 =  3 -i        puis   v = 2 + i - 3i + i² = 1 - 2i

vérifications    u =  3  -i             v = 1  -2i      iu = 3i +1     iu + v = 2 + i   ok

u - v = 2 + i    ok

2)  on peut faire chaque parenthèse séparément  c'est le plus simple

z² - 6z +10 = 0     ou    z² - 6z + 9 + 1 = 0   donc  (z-3)² + 1 = 0   

(z-3)² - i² = 0    se factorise    ( z - 3 - i)(z - 3 +i) =0    z = 3 +i    = conjugué de u

ou z = 3 - i    = u 

la deuxième parenthèse

z² -2z +5 = 0    z² - 2z + 1 + 4 = 0   (z-1)² + 4 = 0            (z-1)² - (2i)²  = 0  se factorise

(z-1-2i)(z-1+2i)=0     z = 1 +2i    (conjugué de v)   ou  z =  1 - 2i  ( v)

3) z² + 2 conj(z) + 1 = 0

le  plus simple  ici  c'est d'écrire    z = x + iy    conj (z) = x - iy  et    z² = x² +2ixy - y²

alors     x² + 2ixy - y²  + 2x - 2iy  +  1 = 0

x² - y²  + 2x  + 1   =  2 iy  - 2 ixy

comme d'un côté c'est réel et de l'autre imaginaire  ça veut dire  que les  deux côtés sont nuls  autrement c'est pas possible

donc  2iy  -  2ixy = 0    2iy( 1 - x) = 0

soit    y=0    (solution  réelle)   soit   x = 1

si   y = 0    x² + 2x +1  =0      (x+1)² = 0   x = -1  il y a bien une solution  réelle  -1

si  x = 1    1² -y² + 2(1) + 1 = 0  4 - y² = 0     y = 2 ou  -2 

solutions  1 +2i    et  1-2i