bonjour,pourriez vous m'aidez pour cette question merci d'avance: montrer que le rayon de la lune doit etre inferieur a LL' pour qu'une eclispe de lune soit tot

Dans un premier temps, on rappelle qu'une éclipse de lune c'est quand la terre est entre la lune et le soleil. On va faire un schéma (ci joint) parce que les schémas ca permet de bien expliquer (fais en un à chaque fois que tu le peux)

Donc on a SS' le rayon du soleil TT' celui de la terre et LL' le rayon max que la lune peut avoir pour qu'une éclipse soit possible.
S'T' la distance terre soleil et T'L' la distance terre lune
On a appelle A la pointe du triangel (je l'ai pas marqué sur le schéma).

On va utiliser thalès, d'abord on écrit les deux équations qui vont nous intéresser :

[tex] \frac{SS'}{TT'} = \frac{S'A}{T'A} eq 1et \frac{TT'}{LL'} = \frac{T'A}{L'A} eq 2[/tex]

or on remarque que on ne connais pas certaines grandeurs, mais c'est pas grave car on peut y accéder :

S'A = S'T'+T'L'+L'A et T'A=T'L'+L'A

Dans eq 2 ca nous donne [tex] \frac{TT'}{LL'} = \frac{T'L'}{L'A} + \frac{L'A}{L'A} = \frac{T'L'}{L'A} + 1[/tex]

Il ne nous reste plus qu'à exprimer L'A, pour cela on va utiliser la 1ere équation

[tex] \frac{SS'}{TT'} = \frac{S'T'}{T'L'+L'A} + \frac{T'L'+L'A}{T'L'+L'A}=\frac{S'T'}{T'L'+L'A}+1[/tex]
Qui est équivalent à [tex] \frac{SS'}{TT'} - 1 = \frac{S'T'}{T'L'+L'A} soit encore \frac{SS'-TT'}{TT'} = \frac{S'T'}{T'L'+L'A} [/tex]
Qui équivaut aussi (on inverse l'équation) [tex] \frac{TT'}{SS'-TT'} = \frac{T'L'+L'A}{S'T'} [/tex]
on isole ensuite le L'A :
[tex] \frac{S'T'(SS'-TT')}{TT'} = T'L'+L'A ,enfin, L'A = \frac{S'T'(SS'-TT')}{TT'} -T'L'[/tex]

On l'injecte dans eq 2
[tex]\frac{TT'}{LL'} = \frac{T'L'}{ \frac{S'T'(SS'-TT')}{TT'} -T'L'} + 1 [/tex] ce qui s'écrit aussi [tex]\frac{TT'}{LL'} = \frac{T'L'}{\frac{S'T'(SS'-TT')}{TT'} -T'L'} + \frac{\frac{S'T'(SS'-TT')}{TT'} -T'L'}{\frac{S'T'(SS'-TT')}{TT'} -T'L'}[/tex] (j'ai juste résuit au meme dénominateur, il ne reste plus qu'à fusionner les deux fractions, y'a meme T'L' qui se simplifie)

Et on a plus qu'à isoler le LL' pour avoir le résultat :

[tex] \frac{LL'}{TT'} = \frac{ \frac{S'T'(SS'-TT')}{TT'}-T'L' }{ \frac{S'T'(SS'-TT')}{TT'}} =1- \frac{ T'L' }{ \frac{S'T'(SS'-TT')}{TT'}}=1- \frac{ T'L'*TT' }{ S'T'(SS'-TT')}[/tex]

d'où
[tex]LL' =(1- \frac{ T'L'*TT' }{ S'T'(SS'-TT')})*TT'[/tex]

Il ne te reste plus qu'à calculer (normalement y'a pas d'erreur dans le calcul littéral, j’admets que c'est assez indigeste mais j'ai essayé de détailler le plus possible pour que tu ne sois pas perdu).
Vérifie bien que le rayon de la lune est inférieur au résultat (si c'est pas le cas c'est qu'il y a un problème).

Si il y a un soucis hésites pas à le dire, et si tu as besoin d'autre chose hésites pas à m'envoyer un message ;)