la solution svppp montrer que ∀(x,y,z)∈ℝ³ (x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0) => (2xz+y²+y+1≠0)

Bonjour Nadiahijri

Démontrer que montrer que ∀(x,y,z)∈ℝ³ : (x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0) => (2xz+y²+y+1≠0)
revient à démontrer qu'il n'existe pas de réels x, y et z tels que x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0 et 2xz+y²+y+1=0.

Soit (1) : x²+4yz+2z=0
       (2) : x+2xy+2z²=0 
       (3) : 2xz+y²+y+1=0.

Si x = 0,
alors la relation (3) serait équivalente à y²+y+1=0.
Cette dernière équation n'admet pas de solution puisque son discriminant Δ = 1²-4*1*1=1-4=-3 <0.

Donc la proposition "il existe y et z tels que x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0 et 2xz+y²+y+1=0" n'est pas vraie pour x = 0 puisque y n'existe pas,

Si z = 0,
alors la relation (1) deviendrait : x² = 0, soit x = 0 et la conclusion serait identique au cas précédent.

D'où, puisque x  et z ne peuvent pas être nuls, nous en déduisons que le produit xz ≠ 0.

(1) : x²+4yz+2z=0 ==> x² = -4yz-2z
                             ==> x² = -2z(2y+1)    (3)

(2) : x+2xy+2z²=0  ==> 2z² = 2xy-x
                              ==> 2z² = -x(2y+1)    (4)

D'où  (3) * (4) ==> 2x²z² = [-2z(2y+1)]*[-x(2y+1)]

2x²z² = 2xz(2y+1)²

Disons les deux membres par xz ≠ 0
2xz = 2(2y+1)²

Dans la relation  (3) : 2xz+y²+y+1=0, remplaçons 2xz par 2(2y+1)².

2(2y+1)² + y² + y+ 1 = 0
2(4y² + 4y+ 1) + y² + y+ 1 = 0
8y² + 8y + 2 +  y² + y+ 1 = 0
9y² + 9y + 3 = 0
3(3y² + 3y + 1) = 0
3y² + 3y + 1 = 0
Cette dernière équation n'admet pas de solution puisque son discriminant Δ = 3²-4*3*1=9-12=-3 <0.

Par conséquent, il n'existe aucune valeur de x, y  et z telle  que x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0 et 2xz+y²+y+1=0.

On en déduit donc que ∀(x,y,z)∈ℝ³ : (x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0) => (2xz+y²+y+1≠0)