DM MATH On appelle format f d'un rectangle le quotient de la longueur L par la largeur l. (f=L x l) 1) Quel est le format d'un rectangle de longueur L = 5 cmet

Bonjour  Nihalebendriouch

1) Quel est le format d'un rectangle de longueur L = 5 cm et de largeur l = 2 cm ?

[tex]f=\dfrac{L}{l}\\\\f=\dfrac{5}{2}=2,5[/tex]

2) On considère un rectangle ABCD de largeur l = 1 cm et de longueur L = x cm. (1 < x < 2) 
a) Exprimer (en fonction de x) le format f du rectangle ABCD. 

[tex]f=\dfrac{L}{l}\\\\f=\dfrac{x}{1}\\\\f=x[/tex]

b) On découpe dans le rectangle ABCD un carré ABOR. 
Exprimer (en fonction de x) le format f' du rectangle ORDC. 

OR = 1
RD = AD-AR = x-1

D'où 

[tex]f=\dfrac{L}{l}\\\\f=\dfrac{1}{x-1}[/tex]

c) Quelle valeur donner à x pour que les rectangles ABCD et ORDC aient le même format ? 
(On se ramènera à une équation du second degré)

[tex]x=\dfrac{1}{x-1}\\\\x(x-1)=1\\\\x^2-x=1\\\\\boxed{x^2-x-1=0}[/tex]

[tex]\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-1)=1+4=5\\\\x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx-0,6\\\\x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,6[/tex]

La seule valeur à retenir est [tex]x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] car x doit être supérieur à 1.

D'où [tex]\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

d) On note "o/" cette valeur. Déterminer o/ - 1 ; o/ (o/ - 1) et 1/o/

[tex] \phi-1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1 \\\\ \phi-1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{2}{2} \\\\ \phi-1=\dfrac{1+\sqrt{5}-2}{2} \\\\ \boxed{\phi-1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex]

[tex]\phi[/tex] est solution de l'équation  [tex]x^2-x-1=0.[/tex]

D'où, nous pouvons écrire : 

[tex]\phi^2-\phi-1=0[/tex]

Par conséquent,

[tex]\phi^2-\phi=1\\\\\boxed{\phi(\phi-1)=1}[/tex]

[tex]\phi^2-\phi-1=0\\\\Divisons\ les\ deux\ membres\ par\ \phi\\\\\phi-1-\dfrac{1}{\phi}=0\\\\\phi-1=\dfrac{1}{\phi}\\\\\dfrac{1}{\phi}=\phi-1\\\\\boxed{\dfrac{1}{\phi}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex]