exercice de math n°68 page 161 4ème Dans le TAR Les points D et C sont le milieux respectifs des côtés [TR] et [AT] ; La droite (TH) est la hauteur relative au

Bonjour,

Dans le TAR 
Les points D et C sont le milieux respectifs des côtés [TR] et [AT] ;
La droite (TH) est la hauteur relative au côtés [AR].
Démontre que l'aire du triangle TAR est égal à quatre fois l'aire du triangle TDC

Dans le triangle TAR, D est milieu de [TR] et C milieu de [AT]. Or, si une droite passe les milieux des deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
(DC) // (AR)

On sait que (ER) est perpendiculaire à (TH)
Donc on a :
(DC ) // (AR) et (AR) // (TH)
Or si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
(DC) est donc perpendiculaire à (TH)

Dans le triangle TDC, d'après la définition de la hauteur, on peut déduire que [TI] est la hauteur du côté (DC) dans le triangle TDC.
D'où :
Aire du triangle TDC = (DC x (IT)) / 2

Dans le triangle TAR, on sait que D est le milieu de [TR] et C le milieu de [AT]
Or dans un triangle,si un segment a pour extrémités les milieux des deux côtés il a donc pour longueur la moitié de celle du troisième.
D'où : DC = AR/2

On sait que (RA) // (DC), que I ∈ (DC) et que H ∈ [RA], on peut donc en déduire que (DI) // (RH)
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté, et si elle est parallèle à un autre côté, elle coupe le troisième côté par son milieu.
(DI) coupe [TH] en son milieu et I ∈ [TH]
En conclusion, I est le milieu de [TH]

Donc :
IT = TH/2
TH = 2IT
et
DC = AR/2
AR = 2DC

Aire TAR = (AR x TH) / 2
Aire TAR = (2DC x 2IT) / 2
Aire TAR = (4 x DC x IT) / 2
Aire TAR = 4 x Aire TDC

L'aire du triangle TAR est donc bien égale à 4 fois l'aire du triangle TDC

J'espère que ça ira, parce que sans schéma, pas évident je m'en suis fait 1