Bonjour à tous pouvez vous m'aider s'il vous plaît. On considère un triangle abc rectangle et isocèle en A tel que bc = 9 Soit I le milieu de [ BC ],Le point M
Mathématiques
ruipedro65
Question
Bonjour à tous pouvez vous m'aider s'il vous plaît.
On considère un triangle abc rectangle et isocèle en A tel que bc = 9
Soit I le milieu de [ BC ],Le point M appartient au segment [ BI ]
Le quadrilatère MQPN est un rectangle où N est un point du segment [ AB ], P
est un point du segment [ AC ] et Q un point du segment [ BC .Existe-t-il une position de M sur le segment [ BI ] tel que l aire du rectangle MQPN soit égale au cinquième de l aire du triangle ABC.
1 Réponse
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1. Réponse raymrich
NM = x car trg (NMB) rect iso
NB² =2x² ⇒ NB = x√2
AN = AB - NB
2AB² =81⇒AB=9√2/2 ⇒ AN = 9√2/2 - x√2 = √2(9-2x)/2
AN/AB = PN/BC (Thalès) ⇔ [√2(9-2x)/2]/[9√2/2] = PN/9 ⇒PN=9-2x
Aire (PQMN) = PN×NM = x(9-2x)
Aire (PQMN) = 1/5 (1/2AB×AC) ⇔ x(9-2x) = 1/10(81/2)=81/20
On obtient l'équation:
40x² - 180x + 81 = 0
Δ = 180² - 4×40×81 = 32400 - 12960 = 19440⇒√Δ = 36√15
x = (180-36√15)/80 ≈ 40,57/80 = 0,507
x' = (180+36√15)/80 ≈ 3,99
Il existe 2 valeurs de x qui répondent à la question car 0,507<9/2 et 3,99<9/2