Bonjour à tous, quelqu'un pour m'aider? :)) On considère les fonctions f et g définies sur R par f(x)=3-x et g(x)= 3x²+2/x²+1. 1) Calculer en fonction du réel x
Mathématiques
Ikramtout
Question
Bonjour à tous, quelqu'un pour m'aider? :))
On considère les fonctions f et g définies sur R par f(x)=3-x et g(x)= 3x²+2/x²+1.
1) Calculer en fonction du réel x, l'expression f(g(x)). (On demande l'expression réduite).
2) Montrer que pour tout réel x, 2 [tex] \leq [/tex] g(x) [tex] \leq [/tex] 3.
3) La fonction f est-elle bornée sur R?
4) Montrer que la fonction f(g(x)) est bornée sur R.
Merci d'avance. :))
On considère les fonctions f et g définies sur R par f(x)=3-x et g(x)= 3x²+2/x²+1.
1) Calculer en fonction du réel x, l'expression f(g(x)). (On demande l'expression réduite).
2) Montrer que pour tout réel x, 2 [tex] \leq [/tex] g(x) [tex] \leq [/tex] 3.
3) La fonction f est-elle bornée sur R?
4) Montrer que la fonction f(g(x)) est bornée sur R.
Merci d'avance. :))
1 Réponse
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1. Réponse anylor
bonsoir,
1) f(g(x)) = 3- [ (3x² +2 )/ (x²+1)]
=[3(x²+1) -(3x²+2)] / [(x²+1)]
= 3x² +3-3x² -2 / [(x²+1)]
= 1/ (x²+1)
2)
dérivée de g(x) = 2 x /(x²+1)²
variation de g
g est continue sur R
dérivée négative donc g décroissante de -OO à 0
dérivée positive donc g croissante de 0 à +OO
limite de (3x²+2) / ( x²+1) = 3
quand x tend vers + OO
limite de (3x²+2) / ( x²+1) = 3
quand x tend vers – OO
0 extremum local
g(0) = 2
donc 2 ≤ g(x) < 3
3) la fonction f n'est pas bornée sur R, car fonction affine
4)
f(gx) = 1/ / (x²+1)
f(g ) est continue sur R
dérivée = -2x / (x²+1)²
dérivée positive de -OO à 0 donc f(g ) croissante de -OO à 0
dérivée négative 0 à +OO donc f(g )décroissante de 0 à +OO
limite de 1/ / (x²+1) = 0
quand x tend vers + OO
limite de 1/ / (x²+1) = 0
quand x tend vers – OO
0 extremum local
f(g(0)) = 1
f(g(x) ) est bornée sur R
donc 0 < f(g(x) ) ≤ 1Autres questions
