Bonjour, voila l'exercice sur lequel je bloque depuis tout à l'heure : On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par Pk la
Mathématiques
emmmmmmmy
Question
Bonjour, voila l'exercice sur lequel je bloque depuis tout à l'heure :
On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par Pk
la probabilité d’obtenir, lors d’un lancer, la face numérotée k, où k est un entier tel que
1≤ k ≤ 6.
Ce dé a été pipé de telle sorte que les six faces ne sont pas équiprobables :
•les nombres p1, p2, p3, p4, p5, p6, sont, dans cet ordre, six termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r ;
• les nombres p1, p2, p4 sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q.
1. a. Montrer que P1 = r
b. Démontrer que, pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ 6, Pk = k/21
2. On lance ce dé une fois et on considère les événements suivants :
A : « le nombre obtenu est pair » ;
B : « le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 » ;
C : « le nombre obtenu est 3 ou 4 ».
a. Calculer la probabilité de chacun de ces événements.
b. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu’il est pair.
c. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit pair, sachant qu’il est supérieur ou égal à
3. Ce dé est utilisé pour un jeu dans lequel on dispose :
• d’une urne U1 contenant une boule rouge et trois boules vertes ;
• d’une urne U2contenant deux boules rouges et une boule verte.
Un joueur lance le dé :
• s’il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l’urne U1 ;
•s’il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l’urne U2 ;
On suppose que pour chaque urne les tirages de boules sont équiprobables. Le joueur est déclaré gagnant s’il tire une boule rouge et on note G cet événement.
a. Construire, sur la feuille annexe , un arbre pondéré traduisant la situation.
b. Déterminer la probabilité de l’événement A ∩ G et montrer que la probabilité de l’événement G est égale à 3/7 .
c. Si le joueur est gagnant, déterminer la probabilité qu’il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé.
4. a. Le joueur joue trois fois à ce jeu et on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance (les probabilités seront données sous forme de fractions).
b. Le joueur joue trente cinq fois à ce jeu : combien de parties peut-il espérer gagner?
On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par Pk
la probabilité d’obtenir, lors d’un lancer, la face numérotée k, où k est un entier tel que
1≤ k ≤ 6.
Ce dé a été pipé de telle sorte que les six faces ne sont pas équiprobables :
•les nombres p1, p2, p3, p4, p5, p6, sont, dans cet ordre, six termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r ;
• les nombres p1, p2, p4 sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q.
1. a. Montrer que P1 = r
b. Démontrer que, pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ 6, Pk = k/21
2. On lance ce dé une fois et on considère les événements suivants :
A : « le nombre obtenu est pair » ;
B : « le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 » ;
C : « le nombre obtenu est 3 ou 4 ».
a. Calculer la probabilité de chacun de ces événements.
b. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu’il est pair.
c. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit pair, sachant qu’il est supérieur ou égal à
3. Ce dé est utilisé pour un jeu dans lequel on dispose :
• d’une urne U1 contenant une boule rouge et trois boules vertes ;
• d’une urne U2contenant deux boules rouges et une boule verte.
Un joueur lance le dé :
• s’il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l’urne U1 ;
•s’il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l’urne U2 ;
On suppose que pour chaque urne les tirages de boules sont équiprobables. Le joueur est déclaré gagnant s’il tire une boule rouge et on note G cet événement.
a. Construire, sur la feuille annexe , un arbre pondéré traduisant la situation.
b. Déterminer la probabilité de l’événement A ∩ G et montrer que la probabilité de l’événement G est égale à 3/7 .
c. Si le joueur est gagnant, déterminer la probabilité qu’il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé.
4. a. Le joueur joue trois fois à ce jeu et on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance (les probabilités seront données sous forme de fractions).
b. Le joueur joue trente cinq fois à ce jeu : combien de parties peut-il espérer gagner?
1 Réponse
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1. Réponse laurance
p2=p1+r p3=p2+r = p1+2r p4=p1+3r p5=p1+4r et p6=p1+5r
p2=qp1 p4=qp2 = q²p1 donc p1+r = qp1 et p1+3r = q²p1
r=qp1 - p1 et 3r=q²p1 - p1 d'où 3(qp1 - p1) =q²p1 - p1
p1 ne peut pas être égal à 0 on en déduit que
3(q- 1) = q² -1 donc 3(q-1)=(q-1)(q+1)
q ne peut pas être égal à 1 d'où 3 = q +1 q = 3-1 = 2
si q = 2 alors p2 = 2p1 p1 + r = 2p1 conclusion p1 = r
après p2=2r p3=3r p4=4r p5=5r p6=6r
d'autre part p1+p2+p3+p4+p5+p6=1 d'où 21p1 = 1
p1=1/21 p2=2/21 etc...