Bonjour à tous, j'ai un devoir à rendre pour jeudi et je suis vraiment perdu en math si'l vous plait aidez moi :( On veut, avant construction, rendre minimal le
Mathématiques
Minijo77
Question
Bonjour à tous, j'ai un devoir à rendre pour jeudi et je suis vraiment perdu en math si'l vous plait aidez moi :(
On veut, avant construction, rendre minimal le frottement d'un fluide contre les parois d'un canal
ouvert, de section intérieur rectangulaire ABCD.
L'aire de la section intérieure de ce canal doit être de 0,5 m2.
On désigne par h la hauteur et par l la largeur (en m) de cette section intérieure.
On admettra que le frottement est minimal lorsque la longueur AB BC CD de la section
intérieure est minimale.
1) a) Écrire l en fonction de h.
b) Montrer que la longueur g(h) du contour intérieur de la section s'exprime en fonction de h par:g(h)=2h+1/2h, où h>0.
c) Étudier le sens de variation de la fonction g, sur l'intervalle ]0,+∞[, et dresser son tableau de
variation.
3. Déduire de ce qui précède les valeurs de h et de l permettant d'obtenir le frottement minimal.
On veut, avant construction, rendre minimal le frottement d'un fluide contre les parois d'un canal
ouvert, de section intérieur rectangulaire ABCD.
L'aire de la section intérieure de ce canal doit être de 0,5 m2.
On désigne par h la hauteur et par l la largeur (en m) de cette section intérieure.
On admettra que le frottement est minimal lorsque la longueur AB BC CD de la section
intérieure est minimale.
1) a) Écrire l en fonction de h.
b) Montrer que la longueur g(h) du contour intérieur de la section s'exprime en fonction de h par:g(h)=2h+1/2h, où h>0.
c) Étudier le sens de variation de la fonction g, sur l'intervalle ]0,+∞[, et dresser son tableau de
variation.
3. Déduire de ce qui précède les valeurs de h et de l permettant d'obtenir le frottement minimal.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Bonjour Minijo77
1) a) Écrire l en fonction de h.
[tex]l\times h=0,5\Longrightarrow l=\dfrac{0,5}{h}\Longleftrightarrow \boxed{l=\dfrac{1}{2h}}[/tex]
b) Montrer que la longueur g(h) du contour intérieur de la section s'exprime en fonction de h par:g(h)=2h+1/2h, où h>0.
[tex]AB+BC+CD= h+l+h\\AB+BC+CD= 2h+l[/tex]
Or [tex]l=\dfrac{1}{2h}[/tex]
D'où, [tex]AB+BC+CD= 2h+\dfrac{1}{2h},\ soit\ \boxed{g(h)= 2h+\dfrac{1}{2h}}[/tex]
c) Étudier le sens de variation de la fonction g, sur l'intervalle ]0,+∞[, et dresser son tableau de variation.
[tex]g(h)=2h+\dfrac{1}{2h}\\\\g'(h)=2-\dfrac{1}{2h^2}\\\\g'(h)=\dfrac{4h^2-1}{2h^2}\\\\g'(h)=\dfrac{(2h+1)(2h-1)}{2h^2}[/tex]
Le signe de g'(h) sera le même que le signe de 2h-1 car 2h+1>0 et 2h²>0.
Donc
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} h&0&&\frac{1}{2}&&+\infty \\ 2h-1&&-&0&+&\\g'(h)&&-&0&+&\\g(h)&&\searrow&&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
3. Déduire de ce qui précède les valeurs de h et de l permettant d'obtenir le frottement minimal.
Le tableau précédent montre que la fonction g présente un minimum si [tex]\boxed{h=\dfrac{1}{2}}[/tex].
La valeur de l correspondant à ce minimum est :
[tex]l=\dfrac{1}{2\times\frac{1}{2}}\\\\l=\dfrac{1}{1}\\\\\boxed{l=1}[/tex]