Bonsoir , J'ai un exercice à faire pour demain , je fais l'effort depuis hier pour arriver à le résoudre mais j'y arrive pas , donc si vous pouvez me donner des

je te propose une piste qui n'est peut  être pas la plus rapide ou la plus simple mais on arrive assez souvent au résultat par cette méthode  c'est d'inventer un repère orthonormé

ici on peut choisir un repère  d'origine A   donc  A(0;0) 

dans lequel   B aurait  comme coordonnées (6;0)   D(0;6)  et C(6;6)

ce qui donne facilement  les coordonnées  de I(2; 0)  et de J(0;4)

on peut alors  chercher les coordonnées du point K  intersection des droites (ID) et (JC)

en écrivant  que les vecteurs  IK (x -2 ;y-0)   et ID(0-2; 6-0)   sont colinéaires  puis que  les vecteurs  JK(x-0;y-4)  et JC(6-0 ; 6 -4)  sont colinéaires  par les équations

(x-2)*6=y*(-2) et             x*2 = (y-4)*6             ou     (x-2)*3 = - y  et   x=(y-4)*3  puis

3x - 6 =  -y   et   x =  3y -12            enfin          3(3y-12) - 6 = - y  va donner  yK

9y - 36 - 6 = - y        10y =  42           yK=4 ,2              xK= 3*4,2 - 12 = 12,6 -12 = 0,6

K( 0,6  ;  4,2)

pour montrer que  (ID) et (JC) sont perpendiculaires  il suffit de montrer que  les vecteurs   ID et JC sont orthogonaux  ( je suppose que tu connais  le produit scalaire)

ID(- 2; 6)   JC(6 ;2 )         produit scalaire = -2*6 + 6*2 = 0 

  ça prouve que les vecteurs ID et JC   sont orthogonaux

calcul  de DK * DI

comme  les vecteurs DK(0,6  -0   ;4,2  -6        ) et DI ( 2; -6)

sont  colinéaires et de même sens  le produit scalaire

DK.DI est égal au produit des longueurs  DK et DI

on fait donc le produit scalaire   = 0,6 *2  + (-1,8) *(-6) = 1,2 + 10,8  = 12

or DA = 6   DA² = 36  et  1/3 * 36 = 12   ce qui prouve l'égalité 

DK * DI = 1/3  *DA²

DK = 12 / DI         

   or   DI²  =  2² +(-6)² = 4 + 36  = 40    donc

  DI = rac(40) = 2rac(10)

DK= 12 /(2*rac(10) )  = 6 / rac(10) 

le triangle ALI  est rectangle en L   donc  AL²  + IL²  = AI² 

or AL est la hauteur  issue de A dans le triangle rectangle ADI

aire (ADI) =AD*AI/2   =  DI*AL/2

6 * 2 /2  = 2 rac(10) * AL/2    donc   AL = 6 /  rac(10)

on en déduit     36  /10   +   IL²  =  4          IL² =  4 - 3,6  =  0,4 

IL  = rac( 0,4) = rac(4/10) =  2 / rac(10) 

DK+KL + LI= DI         donc          KL = 2rac(10)  -  6 /rac(10)  -  2/ rac(10)

KL = ( 2*10  - 6 - 2) / rac(10) = 12 / rac(10)  

on peut remarquer que   12 /rac(10) =  6/5 * rac(10)  c'est pareil