svp exercice 8 et 10

8)  f(x) = x(2n -x)   =  2nx  -  x² 

f '(x) = 2n  -  2x  = 2( n -x)      f '(x)  est  positif   pour   x< n   ; négatif   pour  x >n

donc  f est d'abord  croissante   puis décroissante

f admet  un maximum   quand  x = n

ce maximum  est    f(n) = n (2n  -n) = n *n =  n² 

on a montré que

quel que soit x

x(2n - x)  ≤  n²     donc 

1(2n-1)  ≤  n²

2(2n-2) ≤  n²

3(2n-3) ≤n²

.....

(n-1)(2n-n+1) ≤n²

en multipliant  entre elles ces   n-1   inégalités  :

1(2n-1) * 2(2n-2)*3*(2n-3)  *...*(n-1)(n+1)  ≤ n² *n² *n²*...*n²      ( n² est ecrit  n-1  fois)

multiplions par   n * (2n)  chaque côté

1*2*3*..(n-1)*n*(n+1)...*(2n-1)*(2n)  ≤ (n² )^(n-1) *n *(2n)            

or   (n²)^(n-1)= n^(2n -2 )   et   n*(2n) = 2 *n^2

(2n)!  ≤  (n )^(2n-2)* 2 n^(2)

(2n)! ≤ 2*n^(2n-2 +2)   conduit au résultat    (2n)! ≤ 2 * n^(2n) 

(2n)! ≤ n^(2n) *(2n)

(2n) ! ≤ 2* n^(2n+1)