Dans un espace vectoriel R³ rapporte a la base B=(i,j,k) ,on considere la droite vectorielle D d'equation: x=-b y=2b z=b avec b ∈R et le plan vectoriel P d'equ

il faut savoir  si un element quelconque  (  m; n ;p )  de IR3   peut s'ecrire de manière unique comme somme d'un element de D et d'un element de P
un element de  D est de la forme   ( -b ; 2b ; b ) 
et un element de P est de la forme (  3c -a ;  a ;  c )    d'où  le système
-b +  3c  - a    =  m       ou       -1a  -1b   + 3c  =  m
2b  + a           = n                     1a  + 2b  +0c          =n
b + c             =  p                       0a  + 1b  + 1c =  p
Si   on considère la matrice
-1    -1      3
1       2     0
0       1     1 
cette matrice est  inversible  car son déterminant  est  égal à 2
a  b et c  existent et son uniques 
donc  les deux espaces  sont supplémentaires