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Question

Étant donné un triangle ABC rectangle en A, en construisant les demi cercles de diamètre [AB],[AC] et [BC] comme sur la figure ci-dessus, on détermine deux lunules.Démontrer que la somme des aires des deux lunules est égale a l'aire du triangle ABC.On posera : BC= 2a; AB =2c et AC = 2b
Svp aider moi!!
Étant donné un triangle ABC rectangle en A, en construisant les demi cercles de diamètre [AB],[AC] et [BC] comme sur la figure ci-dessus, on détermine deux lunu
Étant donné un triangle ABC rectangle en A, en construisant les demi cercles de diamètre [AB],[AC] et [BC] comme sur la figure ci-dessus, on détermine deux lunu
Étant donné un triangle ABC rectangle en A, en construisant les demi cercles de diamètre [AB],[AC] et [BC] comme sur la figure ci-dessus, on détermine deux lunu

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1 Réponse

  • Bonjour,

    Voir pièce jointe.

     aire du demi-cercle de rayon "c" couleur rouge + marron=pi*c²/2

    aire  du demi-cercle de rayon "b" couleur bleu + vert=pi*b²/2

    Pour avoir l'aire des lunules , il faut ajouter les aires ci-dessus puis enlever :

    aire du marron + aire du vert ( que l'on va chercher).

    aire du demi-cercle de rayon "a" = pi*a²/2

    aire du marron + aire du vert = pi*a²/2 - aire ABC=pi*a²/2 - bc/2

    Donc :

    aire des lunules=pi*c²/2 + pi*b²/2 - (pi*a²/2 - bc/2)

    aire des lunules=pi*c²/2 + pi*b²/2 - pi*a²/2 + bc/2

    aire des lunules=pi/2 *(c² + b²-a² )+ bc/2-->ligne (1)

    Mais avec Pythagore :(2a)²=(2b)²+(2c)² soit : 4a²=4b²+4c².

    On simplifie par 4 , ce qui donne : a²=b²+c²

    donc : c²+b²-a²=0 ( qui est en gras ci-dessus en ligne (1)).

    La ligne (1) devient :

    aire des lunules= bc/2

    qui est l'aire de ABC.




    Image en pièce jointe de la réponse Bernie76

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