Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un DM de mathématiques. Partie 1: Etude de la fonction coût. Le coût en euros pour fabriquer x objets est donné par la fonction

Bonjour Xmoranne

Partie 1: Etude de la fonction coût.
Le coût en euros pour fabriquer x objets est donné par la fonction C dont l'expression algébrique est C(x) = 0,02x^2 + 0,2 x +8 avec x [0;60]

1. Représenter graphiquement la fonction C dans un repère orthogonal. On prendra pour unité 1cm pour 4 produits et 1cm pour 5€. On choisira une ordonné comprise entre -10 et 110.  
Voir pièce jointe

2. Que représente 《économiquement》 la valeur C(0) ?
C(0) représente les coûts fixes.

3. Montrer que la fonction C est croissante sur [0;60].

[tex] C'(x) = 0,04x+0,2\\\\x\in[0;60] \Longrightarrow x\ge0\\\Longrightarrow 0,04x\ge0\\\Longrightarrow 0,04x+0,2\ge0,2\ \textgreater \ 0[/tex]

Puisque C’(x) > 0 sur [0 ; 60], la fonction C est croissante sur [0;60].

4. Pour quelle quantité le coût dépasse 32€ ? (Utiliser 2 approches différentes: graphique et algébrique).

Graphiquement, nous représentons la droite D d’équation y=32 et déterminons les abscisses des points du graphique représentant la fonction C situés au-dessus de la droite D.  

Nous obtenons ainsi x > 30

Algébriquement, il faut résoudre d’inéquation :[tex] 0,02x^2 + 0,2x + 8 \ \textgreater \ 32 [/tex]
[tex]0,02x^2 + 0,2x -24 \ \textgreater \ 0[/tex]
Multiplions les deux membres par 50
[tex]x^2+10x-1200\ \textgreater \ 0 \\ x^2-30x+40x-1200\ \textgreater \ 0 \\x(x-30)+40(x-30) \ \textgreater \ 0 \\ (x-30)(x+40) \ \textgreater \ 0 [/tex]
Puisque x appartient à l’intervalle [0 ; 60], x est positif
==> x+40 > 0
D’où l’inéquation s’écrit x-30 >0
[tex]\boxed{x\ \textgreater \ 30 }[/tex]

Par conséquent, le coût dépasse 32 € si le nombre d’objets fabriqués est supérieur à 30.

Même question avec 68€.

Graphiquement, nous obtenons x > 50

Algébriquement, il faut résoudre d’inéquation : [tex]0,02x^2 + 0,2x + 8 \ \textgreater \ 68 [/tex]
[tex]0,02x^2 + 0,2x -60 \ \textgreater \ 0 [/tex]
Multiplions les deux membres par 50
[tex]x^2+10x-3000\ \textgreater \ 0 \\ x^2-50x+60x-3000\ \textgreater \ 0\\ x(x-50)+60(x-50) \ \textgreater \ 0\\ (x-50)(x+60) \ \textgreater \ 0 [/tex]
Puisque x appartient à l’intervalle [0 ; 60], x est positif,
==> x+60 > 0
D’où l’inéquation s’écrit x-50 >0
[tex]\boxed{x\ \textgreater \ 50}[/tex]

Par conséquent, le coût dépasse 32 € si le nombre d’objets fabriqués est supérieur à 30.

Partie 2: Recette et Bénéfice.
L'objet est vendu au prix de 1.8€
1.Donner l'expression de la recette R(x) pour x produits vendus.

[tex]R(x)=1,8x[/tex]

2. En déduire l'expression du bénéfice B(x).

Bénéfice = Recette - coûts de fabrication

[tex]B(x)=1,8x-(0,02x^2+0,2x+8)\\B(x)=1,8x-0,02x^2-0,2x-8\\\boxed{B(x)=-0,02x^2+1,6x-8}[/tex]

3.Représenter sur le même graphique la courbe représentative de la fonction bénéfice.
Voir pièce jointe

4. Déterminer la ou les quantités à produire pour réaliser un bénéfice maximal. Calculer la valeur du bénéfice maximal.

La fonction B sera maximale si sa dérivée s'annule.

[tex]B'(x)=-0,04x+1,6\\-0,04x+1,6=0\\\\x=\dfrac{1,6}{0,04}=40[/tex]

[tex]B(40)=-0,02\times40^2+1,6\times 40-8=24[/tex]

Par conséquent, le bénéfice sera maximal si on fabrique 40 objets.
Ce bénéfice sera égal à 24 €

5. Dresser le tableau de variation de la fonction B (à justifier).

En utilisant les résultats de la question précédente, nous avons : 

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&40&&60 \\ B'(x)&&+&0&-&\\B(x)&-8&\nearrow&24&\searrow&16\\ \end{array}[/tex]

6. Pour quelles quantités produites est-on bénéficiaire? (Méthode graphique et par le calcul).

Graphiquement, il faut déterminer l'ensemble des abscisses des points du graphique représentant la fonction B situés au-dessus de l'axe horizontal.

Nous voyons que cet ensemble est l'intervalle [5,5 ; 60]

Algébriquement, il faut résoudre l'inéquation : [tex]-0,02x^2+1.6x-8\ \textgreater \ 0[/tex]

^2-4\times(-0,02)\times(-8)=1,92\ \textgreater \ 0[/tex]

[tex] -0,02x^2 +1,6x - 8=0\\\Delta=1,6^2-4\times(-0,02)\times(-8)=1,92\ \textgreater \ 0[/tex]

[tex]x_1=\dfrac{-1,6-\sqrt{1,92}}{-0,04}\approx74,6\\\\x_2=\dfrac{-1,6+\sqrt{1,92}}{-0,04}\approx5,4[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|cccccccc|} x&0&&5,4&&60&&74,6 &\\ B(x)=-0,02x^2+1,6x-8&&-&0&+&+&+&0&-\\ \end{array}[/tex]

D'où  dans l'intervalle [0 ; 60], B(x) > 0 si x ∈ ]5,4 ; 60]

Par conséquent, dans l'intervalle [0 ; 60], on sera bénéficiaire si le nombre d'objets fabriqués est compris (non strictement) entre 6 et 60