Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice... ABCD est un tétraèdre I est le milieu du segment [BC] À' est le centre de gravité du triangle BCD G est le milieu
Mathématiques
cannellita
Question
Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice...
ABCD est un tétraèdre
I est le milieu du segment [BC]
À' est le centre de gravité du triangle BCD
G est le milieu du segment [AA']
E est le point tel que le vecteur AE = 2/5 vecteur AI
Questions : on souhaite démontrer que les points D,G,E Sont alignés
1) exprimer le vecteur DE en fonction des vecteurs DA et DI
2) justifier que le vecteur DG= 1/2 vecteur DA + 1/3 vecteur DI
3) résoudre le problème
J'ai déjà commencée la résolution du 1), mais je bloque à un moment:
vecteurDE = vecteurDA + vecteurAE (d'après la relation de Chasles)
donc DE = DA + 2/5AI (comme annoncé plus haut)
Après je ne sais pas comment m'en sortir avec AI, et c'est là que j'aurais besoin d'un petit coup de pouce... Par contre s'il vous plait, ne me donnez pas la réponse directe à l'exercice Je voudrais trouver par moi même
Merci ! :)
ABCD est un tétraèdre
I est le milieu du segment [BC]
À' est le centre de gravité du triangle BCD
G est le milieu du segment [AA']
E est le point tel que le vecteur AE = 2/5 vecteur AI
Questions : on souhaite démontrer que les points D,G,E Sont alignés
1) exprimer le vecteur DE en fonction des vecteurs DA et DI
2) justifier que le vecteur DG= 1/2 vecteur DA + 1/3 vecteur DI
3) résoudre le problème
J'ai déjà commencée la résolution du 1), mais je bloque à un moment:
vecteurDE = vecteurDA + vecteurAE (d'après la relation de Chasles)
donc DE = DA + 2/5AI (comme annoncé plus haut)
Après je ne sais pas comment m'en sortir avec AI, et c'est là que j'aurais besoin d'un petit coup de pouce... Par contre s'il vous plait, ne me donnez pas la réponse directe à l'exercice Je voudrais trouver par moi même
Merci ! :)
1 Réponse
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1. Réponse raymrich
Bonjour,
Ici j'indique les vecteurs en caractères gras.
On a:
1
DE = DA+AE = DA+2/5AI
DE = DI+IE = DI-3/5AI
2DE = DA+DI-1/5AI = DA+DI-1/5(AD+DI) = DA+DI+1/5DA-1/5DI⇒
2DE = 6/5DA+4/5DI ⇒ DE = 3/5DA+2/5DI = 1/5(3DA+2DI) (1)
2
G milieu de [AA'] ⇒ 2DG = DA+DA' ⇒ DG = DA/2+DA'/2
A' centre de gravité du triangle (BCD) ⇒ DA' = 2/3DI
D'où DG = DA/2+2/6DI = DA/2+1/3DI ⇒ DG = (3DA+2DI)/6 (2)
(1) et (2) ⇒ 5DE = 6DG ⇔ 5DE-6DG = 0 ⇒ D, E et G alignés